Κίνηση σε επίπεδο με τριβή

 

Κάποτε ένας φίλος Φυσικός με πήρε τηλέφωνο στο διάλειμμα στο Λύκειο.

- Θρασύβουλε μπες σε εκείνη τη διεύθυνση και δες μια άσκησή μου και την λύση που έδωσα

- Εντάξει. Θα δω και θα σε πάρω τηλέφωνο μόλις μπορέσω
.................
.....

Κάποια στιγμή είδα την άσκηση και τη λύση. Παίρνω τηλέφωνο.

- Την είδα
"Σε οριζόντιο επίπεδο εκτοξεύουμε μια λεπτή ράβδο με ταχύτητα του κέντρου μάζας u_o και γωνιακή ταχύτητα ω_ο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ. Να μελετηθεί η κίνηση της ράβδου"

- Τι λες;

- Η άσκηση είναι μια χαρά. Όσον αφορά στη λύση όμως που έδωσες δεν μπορώ να τη δεχτώ γιατί στηρίζεται στην αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων.
Δεν δέχομαι τέτοια λύση γατί η "αρχή ανεξαρτησίας..." δεν είναι αρχή και δεν έχει κάποια αξία αν δεν στηθεί και δε λυθεί πρώτα η διαφορική εξίσωση.

Η αρχή της ανεξαρτησίας... είναι κάτι παλιό που ισχύει μόνον εφόσον πληρούνται κάποιοι όροι και για κάποια φυσικά μεγέθη και για κάποιες επιλογές και για κάποιο στρώσιμο της διαφορικής κλπ κλπ

- Και ποια λύση δίνεις εσύ βρε Θρασύβουλε;
.
- Δεν ξέρω να λύσω την άσκηση. Αλλά μου είναι αδύνατο να δεχτώ λύση με αρχή ανεξαρτησίας κινήσεων και ειδικά σε τέτοια δύσκολη άσκηση όταν δεν ξέρω καν τη διαφορική εξίσωση.
Η αρχή της ανεξαρτησίας είναι ένα διάτρητο «πράγμα» και αφερέγγυο και αν ζούσε σήμερα ο Γαλιλαίος που μας την επέβαλε, θα την είχε αρνηθεί πολλές φορές.

- Ναι αλλά πρέπει να λυθεί η άσκηση

- Συμφωνώ απόλυτα να λυθεί η άσκηση. Αλλά ποιος θα τη λύσει;

Πρέπει να βρεθεί κάποιος να στήσει τη διαφορική εξίσωση και μετά να λύσει τη διαφορική.
Η διαφορική θα δείξει αν η λύση σου είναι σωστή ή όχι.
.................
.....................................
.
Πήγα σπίτι και προσπαθούσα να λύσω την άσκηση του φίλου μου. Αρκετά τα λάθη που έκανα και ακόμη πιο πολλά τα ξανά από την αρχή..
Κάποια στιγμή κατάφερα να στήσω ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που όταν του έβαζα απλά δεδομένα έβγαζε αυτά που ήξερα ότι θα συμβούν. Του έβαζα απλή Φυσική και μου έβγαζε όσα ξέραμε όλοι.

- Σωστό είναι, είπα μέσα μου και παίρνω τηλέφωνο τον φίλο.

 

- Βρήκες τίποτε, με ρωτάει

- Νομίζω ότι κάτι βρήκα. Ίσως σε λίγο να έχω και τη λύση.

Αλλά όσο και να προσπάθησα δεν μπόρεσα να λύσω το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων. Το μόνο που μπορούσα να κάνω ήταν να βγάζω ειδικές λύσεις που βέβαια ακύρωναν την «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων» και που επιβεβαίωναν ότι δεν είχα κάνει λάθος.

Έκτοτε δεν ξανάκανα προσπάθεια να λύσω το σύστημα.
........
Παίρνω τηλέφωνο τον φίλο.

- Σου έστειλα μια λύση

- Θα τη διαβάσω..
..............

.....
Μετά από 2 ώρες κτυπά το τηλέφωνο

 

- Είναι σωστή η λύση. Πάει η αρχή της ανεξαρτησίας και άρα και η λύση που έδωσα.

- Στο είπα ότι δεν πρέπει να δείχνουμε καμιά εμπιστοσύνη σε αυτό που λέγεται «αρχή ανεξαρτησίας...». Αξία έχει μόνο η διαφορική εξίσωση, η λύση της και βέβαια η ερμηνεία της.

- Εσύ όμως έβγαλες σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων

- Ναι

-Λύστο

- Δεν μπόρεσα να το λύσω και δε θα επιμείνω περισσότερο. Ίσως κάποιος άλλος το λύσει και μας δώσει τη λύση. Θα έχει ενδιαφέρον

.....

............

 

Οι διαφορικές εξισώσεις για σύστημα 2 σημείων

 

https://drive.google.com/file/d/1zU3HMNEBmvNTo5KlYG02E-ivOpkBL2I7/view?usp=sharing

 

 

Οι διαφορικές εξισώσεις για ράβδο.

 

https://drive.google.com/file/d/1POjTyUbD6zS7IwXLhmhdif5qhTnr8zwP/view?usp=sharing

 

 

Εύκολα η επεξεργασία επεκτείνεται και σε μια επιφάνεια, σε μια πλάκα ας πούμε, που σέρνεται σε επίπεδο με τριβή. Σε αυτή την περίπτωση θα χρειαστούν διπλά ολοκληρώματα για να καλυφθεί η επιφάνεια της πλάκας.

 

 

Παρασκευή 18 Μαΐου 2012